【题目】已知函数.
(1)若曲线在
处切线的斜率为
,判断函数
的单调性;
(2)若函数有两个零点
,
,证明
,并指出a的取值范围.
【答案】(1)为R上的增函数;(2)证明见解析,a的取值范围是
.
【解析】
(1)求出函数的导数,结合题意求出的值,从而求出函数的单调区间;
(2)通过讨论的范围,求出函数的单调区间,从而判断函数零点的个数,利用单调性证明不等式后,即可确定满足条件的a的取值范围.
(1)由题,
则,得
,
此时,由
得
.
则时,
,
为增函数;
时,
,
为增函数,且
,所以
为R上的增函数
(2)①当时,由
得
或
,
若,由(1)知,
为R上的增函数.
由,
,
所以只有一个零点,不符合题意
若,则
时,
,
为增函数;
时,
,
为减函数;
时,
,
为增函数.
而,故
最多只有一个零点,不符合题意
若时,则
时,
,
为增函数;
时,
,
为减函数;
时,
,
为增函数,得
,故
最多只有一个零点,不符合题意
②当时,由
得
,
由得
,
为减函数,由
得
,
为增函数,
则.
又时,
,
时,
,
所以当时,
始终有两个零点
,
,
不妨令,
,构造函数
,
所以,
由于时,
,又
,则
恒成立,
所以为
的减函数,
则,
即,故有
.
又,
是
的两个零点,则
,
所以.结合
的单调性得
,
所以,所求a的取值范围是
.
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【题目】如图,已知椭圆,抛物线
,点A是椭圆
与抛物线
的交点,过点A的直线l交椭圆
于点B,交抛物线
于M(B,M不同于A).
(Ⅰ)若,求抛物线
的焦点坐标;
(Ⅱ)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.
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【题目】如图,已知抛物线E:(
)与圆O:
相交于A,B两点,且
.过劣弧
上的动点
作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线
,
,相交于点M.
(1)求抛物线E的方程;
(2)求点M到直线距离的最大值.
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【题目】(本小题满分12分)已知圆,圆
,动圆
与圆
外切并且与圆
内切,圆心
的轨迹为曲线
.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)是与圆
,圆
都相切的一条直线,
与曲线
交于
,
两点,当圆
的半径最长时,求
.
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【题目】如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图象,为了容易看出一个班级的成绩变化,将离散的点用虚线连接,根据图象,给出下列结论:
①一班成绩始终高于年级平均水平,整体成绩比较好;
②二班成绩不够稳定,波动程度较大;
③三班成绩虽然多次低于年级平均水平,但在稳步提升.
其中错误的结论的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】如图,六边形的六个内角均相等,
,M,N分别是线段
,
上的动点,且满足
,现将
,
折起,使得B,F重合于点G,则二面角
的余弦值的取值范围是______.
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【题目】定义:过椭圆上的一点(不与长轴的端点重合)与椭圆的两个焦点确定的三角形称为椭圆的焦点三角形;已知过椭圆上一点P(不与长轴的端点重合)的焦点三角形
,且
.
(1)求证:焦点三角形的面积为定值
;
(2)已知椭圆的一个焦点三角形为
,
;
①若,求
点的横坐标的范围;
②若,过点
的直线
与
轴交于点
,且
,记
,求
的值.
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