Question

【题目】已知函数，其中.

（Ⅰ）当时，设.求函数的单调区间；

（Ⅱ）当，时，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为.；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）当时，，求出导数，根据在上单调递增，且，即可利用导数与单调性的关系求出；

（Ⅱ）当，时，即为，因为在上恒成立，即可证，不等式可变形为，构造函数，求出该函数在上的最小值大于等于零，即得证．

（Ⅰ）当时，，则.

∵在上单调递增，且，

∴当时，；当时，.

∴的单调递减区间为，单调递增区间为.

（Ⅱ）设，则.

令，解得.

∴当时，，即在上单调递减；

当时，，即在上单调递增.

∴.

∴在上恒成立.

现要证，只需证.

可证，即.

设，则．

令，解得.

∴当时，，即在上单调递减；

当时，，即在上单调递增.

∴.

∴在上恒成立.

综上，可知，当时等号成立；，当时等号成立.

∴当，时，.