【题目】定义:过椭圆上的一点(不与长轴的端点重合)与椭圆的两个焦点确定的三角形称为椭圆的焦点三角形;已知过椭圆上一点P(不与长轴的端点重合)的焦点三角形
,且
.
(1)求证:焦点三角形的面积为定值
;
(2)已知椭圆的一个焦点三角形为
,
;
①若,求
点的横坐标的范围;
②若,过点
的直线
与
轴交于点
,且
,记
,求
的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)①或
;②
或
.
【解析】
(1)根据椭圆定义、余弦定理及三角形面积公式推理运算即可;
(2)①先设出点坐标,根据焦半径公式表示出
,根据余弦定理用点
的横坐标表示出来,再利用
的范围求出点
的横坐标范围;②利用(1)的结论及条件先求出
点坐标,然后在
中利用面积公式求出
即可.
解:(1)证明:设,由椭圆定义有
,在三角形
中,由余弦定理得:
,
即,所以
.
(2)①设,由已知得:
,
.
在三角形中,由焦半径公式得:
,
由余弦定理得:,
代入并化简得:,故
或
.
②由(1)可知,可得
,或
.
(ⅰ)当时,设
,
在三角形中,
,
由余弦定理得:得
.
则,所以
,所以
,∴
,所以
.
(ⅱ)当时,同理可得
综上所述,或
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W与时间t的关系为,用
的大小评价在
这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论:
①在这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
②在时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
③在时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
④甲企业在这三段时间中,在
的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是____________________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在①,②
,③
这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并给出解答.已知数列
的前
项和为
,满足________,________;又知正项等差数列
满足
,且
,
,
成等比数列.
(1)求和
的通项公式;
(2)证明:.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为,且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求
的最大值点
.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的作为
的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为,求
;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
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【题目】已知抛物线和圆
,倾斜角为45°的直线
过抛物线
的焦点,且
与圆
相切.
(1)求的值;
(2)动点在抛物线
的准线上,动点
在
上,若
在
点处的切线
交
轴于点
,设
.求证点
在定直线上,并求该定直线的方程.
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