【题目】在几何体中,如图,四边形
为平行四边形,
,平面
平面
,
平面
,
,
.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)由,得到平面
,平面
,根据平面
平面
,由面面平行的性质定理得到
,进而得到四边形
为平行四边形,再根据
平面
,得到
,由
,得到
,同理得到
,由线面垂直的判定定理得到
平面
得证.
(2)由(1)可知,直线、
、
两两垂直.以
为坐标原点,以
、
、
为坐标轴建立的空间直角坐标系
,设
,则
,
,分别求得平面
和平面
的一个法向量
,代入
求解.
(1)证明:由,
可知、
、
、
四点确定平面
,
、
、
、
四点确定平面
.
∵平面平面
,且平面
平面
,
平面平面
,
∴,四边形
为平行四边形.
同理可得,四边形为平行四边形,四边形
为平行四边形.
∵平面
,
平面
,
∴,
而,于是
.
由,
,
则.
由,
平面
,
平面
.
∴平面
,而
平面
,
∴.
(2)由(1)可知,直线、
、
两两垂直.以
为坐标原点,以
、
、
为坐标轴建立的空间直角坐标系
.
不妨设,则
,
.
∴,
,
,
,
,
则,
,
,
设平面的一个法向量为
,
则,则
,
令,则
,
,
∴平面的一个法向量为
.
设平面的一个法向量为
,
则,则
,
令,则
,
,
∴平面的一个法向量为
.
∴二面角的余弦值为
.
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【题目】定义:过椭圆上的一点(不与长轴的端点重合)与椭圆的两个焦点确定的三角形称为椭圆的焦点三角形;已知过椭圆上一点P(不与长轴的端点重合)的焦点三角形
,且
.
(1)求证:焦点三角形的面积为定值
;
(2)已知椭圆的一个焦点三角形为
,
;
①若,求
点的横坐标的范围;
②若,过点
的直线
与
轴交于点
,且
,记
,求
的值.
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【题目】已知双曲线,F1,F2是双曲线的左右两个焦点,P在双曲线上且在第一象限,圆M是△F1PF2的内切圆.则M的横坐标为_________,若F1到圆M上点的最大距离为
,则△F1PF2的面积为___________.
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【题目】2019年10月1日上午,庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行,这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量,更是让世界感受到了中国的日新月异,去年的阅兵方阵有一个很抢眼,他们就是院校科研方阵,他们是由军事科学院,国防大学,国防科技大学联合组建,若已知甲,乙,丙三人来自上述三所学校,学位分别有学士、硕士、博士学位,现知道:①甲不是军事科学院的,②来自军事科学院的均不是博士,③乙不是军事科学院的,④乙不是博士学位,⑤来自国防科技大学的是硕士,则甲是来自哪个院校的,学位是什么( )
A.国防大学,博士B.国防科技大学,硕士
C.国防大学,学士D.军事科学院,学士
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的右顶点与抛物线
:
的焦点
重合,其离心率
.过
作两条相互垂直的直线
与
,且
交抛物线
于
,
两点,
交椭圆
于另一点
.
(1)求的值;
(2)求面积的最小值.
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【题目】
如图,在四面体中,
、
分别是
、
的中点,
、
分别是
和
上的动点,且
与
相交于点
.下列判断中:
①直线经过点
;
②;
③、
、
、
四点共面,且该平面把四面体
的体积分为相等的两部分.
所有正确的序号为
__________.
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【题目】某小区楼顶成一种“楔体”形状,该“楔体”两端成对称结构,其内部为钢架结构(未画出全部钢架,如图1所示,俯视图如图2所示),底面是矩形,
米,
米,屋脊
到底面
的距离即楔体的高为1.5米,钢架所在的平面
与
垂直且与底面的交线为
,
米,
为立柱且O是
的中点.
(1)求斜梁与底面
所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)求此模体的体积.
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