【题目】已知函数.
(1)讨论的单调区间与极值;
(2)已知函数的图象与直线
相交于
,
两点(
),证明:
.
【答案】(1)分类讨论,答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)求出导函数,利用
确定增区间,
确定减区间,从而可得极值;
(2)由(1)知只有在且
即
时,函数
的图象与直线
才有两个交点,由
得
,可得
,同时由
消去参数
,并设
,
都可用
表示,要证不等式
,只要证
,即
,只要证
,引入新函数
.利用导数的知识可证.
解:(1),
①当时,
,此时
在
②当时,由
,得
.
所以时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增.
此时函数有极小值为,无极大值.
(2)由题设可得,所以
,
且由(1)可知,
,
.
,
,∴
,同理
,
由,可知
,所以
.
由,得
,
作差得
设(
),由
,得
,
所以,即
,
所以,
要证,只要证
,即
,只要证
.
设(
),
则.
所以在
单调递增,
.
所以.
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【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费
和年销售量
(
)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1.469 | 108.8 |
表中,
(1)根据散点图判断,与
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?给出判断即可,不必说明理由
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为根据(2)的结果回答下列问题:
①年宣传费时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据,其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.
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【题目】为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩,并规定
为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图:
(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率;
(Ⅱ)从图中考核成绩满足的学生中任取2人,求至少有一人考核优秀的概率;
(Ⅲ)记表示学生的考核成绩在区间
的概率,根据以往培训数据,规定当
时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图①,在平面五边形中,
是梯形,
,
,
,
,
是等边三角形.现将
沿
折起,连接
、
得如图②的几何体.
(1)若点是
的中点,求证:
平面
;
(2)若,在棱
上是否存在点
,使得二面角
的余弦值为
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C:的离心率为
,与坐标轴分别交于A,B两点,且经过点Q(
,1).
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若P(m,n)为椭圆C外一动点,过点P作椭圆C的两条互相垂直的切线l1、l2,求动点P的轨迹方程,并求△ABP面积的最大值.
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