Question

【题目】如图①，在平面五边形中，是梯形，，，，，是等边三角形.现将沿折起，连接、得如图②的几何体.

（1）若点是的中点，求证：平面；

（2）若，在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在；.

【解析】

（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可得出结论；

（2）取中点，连接、，推导出、、两两垂直，然后以点为原点，分别以射线、、为、、轴正半轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合二面角的余弦值为可求得的值，进而可求得的值，由此可得出结论.

（1）取中点，连接、，则是的中位线，且，

且，且，则四边形是平行四边形，，

又平面，平面，平面；

（2）取中点，连接、，易得，，

在中，由已知，，.

，，所以，、、两两垂直，

以为原点，分别以射线、、为、、轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系，

则、、、，

则，，，

假设在棱上存在点满足题意，设，

则，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，得平面的一个法向量，

又平面的一个法向量，

由已知，

整理得，解得（舍去），

因此，在棱上存在点，使得二面角的余弦值为，且.