Question

【题目】如图所示的多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段PB上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，．

（Ⅰ）试确定点F的位置，使得直线EF∥平面PDC；

（Ⅱ）若PB＝3BF，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当点F为BP中点时，使得直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）设F为BP中点，取AP中点G，连结EF、EG、FG，推导出GF∥AB∥CD，EG∥DP，从而平面GEF∥平面PDC，进而当点F为BP中点时，使得直线EF∥平面PDC．

（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量，的坐标，代入公式sinθ求解．

（Ⅰ）设F为BP中点，取AP中点G，连结EF、EG、FG，

∵AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，

∴GF∥AB∥CD，EG∥DP，

∵EG∩FG＝G，DP∩CD＝D，∴平面GEF∥平面PDC，

∵EF平面GEF，

∴当点F为BP中点时，使得直线EF∥平面PDC．

（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，

∵E为AD的中点，F为线段PB上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，．

∴cos120°，解得CD＝2，

所以A（0，0，3），B（2，0，3），P（﹣2，2，0），C（2，0，0），

设F（a，b，c），由PB＝3BF，得，

即（a﹣2，b，c﹣3）（﹣8，2，﹣3），

解得a，b，c＝2，∴F（，，2），

（，﹣1），（0，0，3），（﹣4，2，0），

设平面PBC的一个法向量（x，y，z），

则，取x＝1，得（1，，0），

设直线AF与平面PBC所成角为θ，

则直线AF与平面PBC所成角的正弦值为：

．