Question

【题目】如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，平面平面，点在上，且．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）当异面直线与所成角的余弦值为时，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）先证明⊥，再利用面面垂直性质得⊥平面，可得⊥，即可证明；

（Ⅱ）以为原点，分别以向量，，的方向为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角即可.

（Ⅰ）证明：延长和，使它们交于，连结，如图，

由已知，∥，，所以；

又因为，所以为直角三角形，且∠为直角，即⊥；

不妨设，则在直角梯形中，，，；

所以，，从而⊥；

又因为平面⊥平面，平面平面，

所以⊥平面，从而⊥；

因为⊥，⊥，，所以⊥平面；

又因为平面，所以平面⊥平面．

（Ⅱ）过作⊥于，则由平面⊥平面及平面平面，

有⊥平面，从而，，两两垂直．

以为原点，分别以向量，，的方向为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

设∠（），，结合（1），易得

，，，．

从而，，．

由直线与所成角的余弦值为，有，

即，解得，即，

从而．

，；

设向量为平面的一个法向量，则由且，

有，令，得；

设向量为平面的一个法向量，则由且，有

，令，得；

；

从而；

所以，二面角的正弦值为．