Question

【题目】

如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别是和上的动点，且与相交于点．下列判断中：

①直线经过点；

②；

③、、、四点共面，且该平面把四面体的体积分为相等的两部分．

所有正确的序号为

__________．

Answer 1

【答案】①③

【解析】

通过平面的基本性质与推论很容易证明三线共点，①正确；两个三角形的面积，一个为定值，另一个不是定值，②不正确；通过K点的特殊位置和运动，空间想象体积的变化，通过严谨的逻辑推理，得出结论③正确.

①项，因为，所以，且平面，

平面

同理可得， 平面；

又因为平面平面，所以，

所以，，三条直线相交于同一点.故①正确.

②项，为定值，为上的动点，又因为与为异面直线，

所以到的距离是变化的，所以是变化的，故②不正确.

③ 项，当K与D重合时，H与D重合，G与C重合，如图（1）所示

此时平面EGFH即为平面ECD，

因为E为AB 中点，所以平面ECD把四面体分成体积相等的两部分.

图（1）

当K远离D时，平面EGFH使两部分体积发生了变化，

一部分在三棱锥A-ECD的基础上，

多出了一个三棱锥E-GCF的体积，如图2

少了一个三棱锥E-FDH的体积，如图3所示，

过点D做，分别交EK，GK于点M，N，

连接MN，如图4所示

，

， ，

，

，

所以无论、、、如何变化，平面把四面体的体积分为相等的两部分，③正确.

故答案为：①③