Question

【题目】如图所示，三棱锥中，面面.

（1）若，求证：面；

（2）若，，，且和互余，求直线和面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）在面中，过点作，交于点，利用面面垂直的性质得到面，利用线面垂直的性质得到，结合，利用线面垂直的判定定理证得结果；

（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合题中条件，设，则，写出相应的点的坐标，求出面的法向量以及直线的方向向量，利用公式求得结果.

（1）证明：在面中，过点作，交于点，

∵面面，面面，

∴面，∴.

又，∴面.

又面，∴面面.

（2）如图建立空间直角坐标系，

设，则，

则，，

由可得，

化简得：，∴，∴.

∴，，，

可得面的法向量为，直线的方向向量为.

设直线和平面所成的角为，

则.

解法二：设，则，

则，∴，

易得，，∴.