Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当存在三个不同的零点时，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先对函数求导，求导后令，由判别式结合二次函数根的分布求解原函数的单调区间；

（2）由（1）求出的函数单调性可使存在三个不同的零点时实数a的取值范围

解：（1）由，得，

当时，，所以 在上单调递增

令，则，

当≤0时，即≥，则≤0，即≤0，

所以在上单调递减；

当，即时，

由，解得

当时，，则 在上单调递增，

当时，，

当 时，，即 ，则在和上单调递减；

当时，，即 ，则在上单调递增；

综上，当≤0时，在上单调递增；

当时，在和上单递减，在上单调递增；

当≥时，在上单调递减；

（2）由（1）可当≥时，在上单调递减，当≤0时，在上单调递增，不可能有3个零点，

所以时，在和上单递减，在上单调递增，

因为，，所以，

，，

令，则，

令，则在 上为增函数，

由，得，所以当时，，

所以 在上单调递减，

所以，

所以在上单调递增，

所以，

所以，

由零点存在性定理可知，在区间上有一个根，设为，

又，得，

而，所以是函数的另一个零点，

所以当时，有3个零点，

所以实数a的取值范围为