Question

【题目】已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点，在、上各取两个点，将其坐标记录于表格中：

（1）求、的标准方程；

（2）已知定点，为抛物线上的一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于、两点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）设椭圆，根据题意可知点在椭圆上，可得出，进一步得知点在椭圆上，可求得的值，可求出椭圆的方程，从而可得出抛物线上的点的坐标，进而可求得抛物线的标准方程；

（2）设点，利用导数可求得切线的方程，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求得，求出点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可得出面积关于的表达式，利用二次函数的基本性质可求得面积的最大值.

（1）设，由题意知点一定在椭圆上，则，得，

所以，椭圆上的点的横坐标的取值范围是，

则点也在椭圆上，将该点的坐标代入椭圆方程得，，解得，

所以，椭圆的标准方程为．

设抛物线，依题意知点在抛物线上，代入抛物线的方程，得，

所以，抛物线的标准方程为；

（2）设、，，

由知，故直线的方程为，即，

代入椭圆的方程整理得，

，

由韦达定理得，，

，

设点到直线的距离为，则，

，

当时取到等号，此时满足．

综上所述，面积的最大值为．