Question

【题目】已知函数，且曲线在处的切线斜率为1．

（1）求实数的值；

（2）证明：当时，；

（3）若数列满足，且，证明：

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）由即得的值；（2）只需证，利用导数证明在上单调递增，所以成立，即得证；（3）分析得到只需证，再利用导数证明即可.

（1），，所以；

（2）要证，只需证，

，

因为，

所以，

所以在上单调递增，

所以，

所以在上单调递增，

所以成立，

所以当时，成立．

（3）由（2）知当时，.

因为，

所以，

设，

则，

所以；

要证：，只需证：，

因为，

所以，

因为，

所以，

所以，

故只需证：，

因为，故只需证：，

即证：，

只需证：当时，，

，

，

，

所以在区间上是增函数，

故，

所以在区间上是增函数，

故，

所以在区间上是增函数，

故，

所以原不等式成立．