Question

【题目】若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），则（ ）

A.在内单调递增；

B.和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；

C.和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；

D.和之间存在唯一的“隔离直线”.

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

令，利用导数可确定单调性，得到正确；

设，的隔离直线为，根据隔离直线定义可得不等式组对任意恒成立；分别在和两种情况下讨论满足的条件，进而求得的范围，得到正确，错误；

根据隔离直线过和的公共点，可假设隔离直线为；分别讨论、和时，是否满足恒成立，从而确定，再令，利用导数可证得恒成立，由此可确定隔离直线，则正确.

对于，，

，，

当时，，单调递增，

，在内单调递增，

正确；

对于，设，的隔离直线为，

则对任意恒成立，即对任意恒成立.

由对任意恒成立得：.

⑴若，则有符合题意；

⑵若则有对任意恒成立，

的对称轴为，，；

又的对称轴为，；

即，，；

同理可得：，；

综上所述：，，正确，错误；

对于，函数和的图象在处有公共点，

若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点.

设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，

则恒成立，

若，则不恒成立.

若，令，对称轴为

在上单调递增，

又，故时，不恒成立.

若，对称轴为，

若恒成立，则，解得：.

此时直线方程为：，

下面证明，

令，则，

当时，；当时，；当时，；

当时，取到极小值，也是最小值，即，

，即，

函数和存在唯一的隔离直线，正确.

故选：.