Question

【题目】已知椭圆的焦距为2，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知是椭圆的内接三角形，若坐标原点为的重心，求点到直线距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意结合椭圆性质可得，再结合点在椭圆上即可得解；

（2）设，记线段中点为，由重心的性质可得点，按照、分类，结合点差法、点到直线的距离可得，即可得解.

（1）因为椭圆的焦距为2，所以，

因为椭圆过点，所以.

解得，

故椭圆的方程为；

（2）设，记线段中点为，

因为为的重心，所以，则点的坐标为，

若，则，此时直线与轴垂直，

故原点到直线的距离为，即为1；

若，此时直线的斜率存在，

设，则，

又，两式相减得，

可得.

故直线的方程为即，

则点到直线的距离为，

将代入得，

因为，所以；

又，故原点到直线距离的最小值为.