【题目】在斜三棱柱中,
为等腰直角三角形,
,平面
⊥平面
,点
为棱
的中点,
.
(1)证明:平面平面
.
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)证明平面
,平面
平面
即得证;
(2)由于,
,
两两垂直,以
为坐标原点,
,
,
分别为
,
,
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
,再利用向量法求出二面角
的余弦值.
(1)证明:分别取,
的中点
和
,连接
,
,
,
.
因为,
为
的中点,所以
,
因为平面平面
,且平面
平面
.
所以平面
,
因为是
的中点.
所以,且
,
因为点为棱
的中点所以
,且
,
所以,且
,所以四边形
是平行四边形,则
.
因为平面
,所以
平面
,
因为平面
,所以平面
平面
.
(2)由题意得,则
平面
,故
,
,
两两垂直.
以为坐标原点,
,
,
分别为
,
,
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
故,
,
,
设平面的法向量为
,
则,令
,得
.
设平面的法向量为
,
则令
,得
,
则,
由图可知二面角为锐角,则二面角
的余弦值为
.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,AD⊥PD,点F为棱PD的中点.
(1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE,并说明理由;
(2)若AC⊥PB,二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时,求直线AF与平面BCF所成的角的正弦值.
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【题目】政府工作报告指出,2019年我国深入实施创新驱动发展战略,创新能力和效率进一步提升;2020年要提升科技支撑能力,健全以企业为主体的产学研一体化创新机制,某企业为了提升行业核心竞争力,逐渐加大了科技投入;该企业连续5年来的科技投入x(百万元)与收益y(百万元)的数据统计如下:
科技投入x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
收益y | 40 | 50 | 60 | 70 | 90 |
(1)请根据表中数据,建立y关于x的线性回归方程;
(2)按照(1)中模型,已知科技投入8百万元时收益为140百万元,求残差(残差
真实值-预报值).
参考数据:回归直线方程,其中
.
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【题目】在①;②
;③
,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.
在△中,内角A,B,C所对的边分别为
.且满足_________.
(1)求;
(2)已知,△
的外接圆半径为
,求△
的边AB上的高
.
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【题目】质量是企业的生命线,某企业在一个批次产品中随机抽检件,并按质量指标值进行统计分析,得到表格如表:
质量指标值 | 等级 | 频数 | 频率 |
三等品 | 10 | 0.1 | |
二等品 | 30 | ||
一等品 | 0.4 | ||
特等品 | 20 | 0.2 | |
合计 | 1 |
(1)求,
,
;
(2)从质量指标值在的产品中,按照等级分层抽样抽取6件,再从这6件中随机抽取2件,求至少有1件特等品被抽到的概率.
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【题目】若存在实常数和
,使得函数
和
对其公共定义域上的任意实数x都满足:
和
恒成立,则称此直线
为
和
的“隔离直线”,已知函数
,
,
(
为自然对数的底数),则( )
A.在
内单调递增;
B.和
之间存在“隔离直线”,且
的最小值为
;
C.和
之间存在“隔离直线”,且
的取值范围是
;
D.和
之间存在唯一的“隔离直线”
.
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