Question

【题目】函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数的定义域为，求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）构造函数，由题意可知恒成立，对实数分和两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，验证是否成立，由此可得出实数的取值范围.

（1）函数的定义域为，.

（i）当时，，函数在上单调递增；

（ii）当时，令得.

若，则；若，则.

①当时，，函数在上单调递增；

②当时，，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；

综上，可得，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）设，，则.

当时，单调递增，则.

所以，函数在上单调递增，且.

当时，，

于是，函数在上单调递增，恒成立，符合题意；

当时，由于，，，

所以，存在，使得.

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.

故，不符合题意，

综上所述，实数的取值范围是.