[题目]如图.长方体被经过的动平面所截.分别与棱.交于点..得到截面.已知..(1)求证:,(2)若直线与截面所成角的正弦值为.求的长. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，长方体被经过的动平面所截，分别与棱，交于点，，得到截面，已知，.

（1）求证：；

（2）若直线与截面所成角的正弦值为，求的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由于，，两两垂直，所以以为原点，分别以，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，由题可知，若设出点，则可表示出点的坐标，从而可得到向量坐标，得，所以；

（2）设，先求出平面的法向量，然后利用空间向量结合向量的夹角公式求解即可.

（1）以为原点，分别以，，，所在直线为轴，轴，轴，

建立空间直角坐标系.则，，，，.

依题意易得，设，则，

所以，而，所以，所以.

（2）因为，，，设平面的法向量为，则，令，则，

设直线与截面所成角为，所以，

解得，所以.

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