Question

【题目】如图，在四边形中，，，，，，E是的中点.现将沿翻折，使点A移动至平面外的点P.

（1）若，求证：平面；

（2）若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）法一：在线段上取靠近点P的四等分点G，连接，，证出四边形为平行四边形，从而可得，再利用线面平行的判定定理即可证出. 法二：在线段上取靠近点B的四等分点H，连接，，证出平面，平面，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再利用面面平行的性质定理即可证出.

（2）以E为原点，为轴，为轴，过点E垂直平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，取平面的一个法向量为，利用空间向量的数量积即可求解.

（1）法一：依题意得，，，且，

如图，在线段上取靠近点P的四等分点G，连接，，

因为，所以，.

所以，

所以四边形为平行四边形，可得

又平面，平面，

所以平面

法二：如图，在线段上取靠近点B的四等分点H，连接，，

因为，所以.

又平面，平面，

所以平面

依题意得，，，且，

而，所以，.

所以四边形为平行四边形.

所以.

又平面，平面，

所以平面

而平面，平面，，

所以平面平面.

因为平面，所以平面

（2）由，得.

又因为平面平面，平面平面，

所以平面

以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

由，得

则，.

设平面的法向量为，

则，即，

故可取

又平面，可取平面的一个法向量为，

则.

所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.