【题目】已知正方体棱长为,如图,为上的动点,平面.下面说法正确的是( )
A.直线与平面所成角的正弦值范围为
B.点与点重合时,平面截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大
C.点为的中点时,若平面经过点,则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D.己知为中点,当的和最小时,为的中点
【答案】AC
【解析】
以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可判断A选项的正误;证明出平面,分别取棱、、、、、的中点、、、、、,比较和六边形的周长和面积的大小,可判断B选项的正误;利用空间向量法找出平面与棱、的交点、,判断四边形的形状可判断C选项的正误;将矩形与矩形延展为一个平面,利用、、三点共线得知最短,利用平行线分线段成比例定理求得,可判断D选项的正误.
对于A选项,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,则点、、设点,
平面,则为平面的一个法向量,且,,
,
所以,直线与平面所成角的正弦值范围为,A选项正确;
对于B选项,当与重合时,连接、、、,
在正方体中,平面,平面,,
四边形是正方形,则,,平面,
平面,,同理可证,
,平面,
易知是边长为的等边三角形,其面积为,周长为.
设、、、、、分别为棱、、、、、的中点,
易知六边形是边长为的正六边形,且平面平面,
正六边形的周长为,面积为,
则的面积小于正六边形的面积,它们的周长相等,B选项错误;
对于C选项,设平面交棱于点,点,,
平面,平面,,即,得,,
所以,点为棱的中点,同理可知,点为棱的中点,则,,
而,,且,
由空间中两点间的距离公式可得,,,
所以,四边形为等腰梯形,C选项正确;
对于D选项,将矩形与矩形延展为一个平面,如下图所示:
若最短,则、、三点共线,
,,
,所以,点不是棱的中点,D选项错误.
故选:AC.
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【题目】为了治疗某种疾病,某科研机构研制了甲、乙两种新药,为此进行白鼠试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.4轮试验后,就停止试验.甲、乙两种药的治愈率分别是和.
(1)若,求2轮试验后乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只的概率;
(2)已知A公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用,甲药和乙药一次试验耗材花费分别为3千元和千元,每轮试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈,则该科研机构和A公司各承担该轮试验耗材总费用的50%;若甲药治愈,乙药未治愈,则A公司承担该轮试验耗材总费用的75%,其余由科研机构承担,若甲药未治愈,乙药治愈,则A公司承担该轮试验耗材总费用的25%,其余由科研机构承担.以A公司每轮支付试验耗材费用的期望为标准,求A公司4轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元?
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【题目】椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)点为椭圆上一动点,连接、,设的角平分线交椭圆的长轴于点,求实数的取值范围.
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【题目】已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个:①函数的最大值为2;②函数的图象可由的图象平移得到;③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)请写出这两个条件序号,并求出的解析式;
(2)求方程在区间上所有解的和.
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【题目】在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC的中点.将△ABD沿BD折起,使AB⊥AC,连接AE,AC,DE,得到三棱锥A-BCD.
(1)求证:平面ABD⊥平面BCD
(2)若AD=1,二面角C-AB-D的余弦值为,求二面角B-AD-E的正弦值.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程是:(是参数).以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.
(1)若直线与曲线相交于两点,且,试求实数值;
(2)设为曲线上任意一点,求的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△PAD为等边三角形,E,F分别为PC和BD的中点,且EF⊥CD.
(1)证明:平面PAD⊥平面ABCD;
(2)求点C到平面PDB的距离.
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