Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△PAD为等边三角形，E，F分别为PC和BD的中点，且EF⊥CD．

（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；

（2）求点C到平面PDB的距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据中位线定理可证PA⊥CD，结合AD⊥CD可得CD⊥平面PAD，于是平面PAD⊥平面ABCD；

（2）计算△PBD的面积，根据VP﹣BCD＝VC﹣PBD列方程计算点C到平面PDB的距离．

（1）因为E，F分别为PC和BD的中点，所以EF∥PA，

又因为EF⊥CD，所以PA⊥CD，

因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD，

又PA∩AD＝A，PA平面PAD，AD平面PAD，所以CD⊥平面PAD，

又CD平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．

（2）取AD的中点O，连接PO，

因为△PAD是等边三角形，AD＝2，所以PO⊥AD，且PO，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以PO⊥平面ABCD，

又四边形ABCD是边长为2的正方形，所以S△BCD2，

所以VP﹣BCD，

连接OB，则OB，故PB2，

又BD2，PD＝2，

所以S△PBD，

设C到平面PBD的距离为h，则VC﹣PBD，

整理得，解得h，

即点C到平面PBD的距离为．