Question

已知F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上的点A（1，

3

2

）到F₁、F₂两点的距离之和等于4．
（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）把点A的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程，由椭圆的方程求出焦点坐标．
（2）设F₁K的中点Q（x，y），则由中点坐标公式得点K（2x+1，2y），把K的坐标代入椭圆方程，化简即得线段KF₁的中点Q的轨迹方程．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，
且椭圆上的点A到焦点F₁、F₂的距离之和是4，
∴2a=4，即a=2；
又∵点A（1，

3

2

）在椭圆上，
∴

1

22

+

9

4b2

=1，
∴b²=3，∴c²=a²-b²=1；
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

x2

3

=1，
焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（2）设椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1上的动点K为（x₁，y₁），线段F₁K的中点Q（x，y），
∴x=

-1+x1

2

，y=

0+y1

2

；
∴x₁=2x+1，y₁=2y；
代入椭圆方程，得

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1；
即(x+

1

2

)2+

4y2

3

=1为所求中点的轨迹方程．

点评：本题考查了椭圆的定义与标准方程以及线段的中点坐标公式，用代入法求轨迹方程等问题，是中档题．