Question

【题目】证明
（1）求证： + ＜2
（2）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证： ， 中至少有一个小于2．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为 + 和2 都是正数，所以为了证明 + ＜2 ，

只要证 （ + ）2＜（2 ）2

只需证：10+2 ＜20，

即证：2 ＜10，

即证： ＜5，

即证：21＜25，

因为21＜25显然成立，所以原不等式成立．

（2）证明：假设： ， 都不小于2，则 ≥2， ≥2，

∵a＞0，b＞0，

∴1+b≥2a，1+a≥2b，

∴1+b+1+a≥2（a+b）

即 a+b≤2

这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．

【解析】（1）利用了分析法，和两边平方法，（2）利用了反证法，假设： ， 都不小于2，则 ≥2， ≥2，推得即a+b≤2，这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．
【考点精析】认真审题，首先需要了解不等式的证明(不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等)．