【题目】如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC= ,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:VB∥平面MOC.
(2)求证:平面MOC⊥平面VAB.
(3)求二面角C﹣VB﹣A的平面角的余弦值.
【答案】
(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,
所以OM∥VB.
又因为OM平面MOC,VB平面MOC,
所以VB∥平面MOC.
(2)证明:因为AC=BC,O为AB中点,
所以OC⊥AB.
因为平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,
OC平面ABC,所以OC⊥平面VAB.
因为OC平面MOC,
所以平面MOC⊥平面VAB
(3)解:由(2)知OC⊥面VAB,过O作OE⊥VB交VB于点E,连结CE,
因为OC⊥面VAB,所以OC⊥VB,
则∠OEB即为二面角C﹣VB﹣A的平面角.
在直角三角形COE中,
OE= ,OC=1,CE= ,
所以cos∠OEB= .
故二面角C﹣VB﹣A的平面角的余弦值为
【解析】(1)由三角形中位线定理得OM∥VB,由此能证明VB∥平面MOC.(2)推导出OC⊥AB,从而OC⊥平面VAB,由此能证明平面MOC⊥平面VAB.(3)由OC⊥面VAB,过O作OE⊥VB交VB于点E,连结CE,则∠OEB即为二面角C﹣VB﹣A的平面角.由此能求出二面角C﹣VB﹣A的平面角的余弦值.
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定是解答本题的根本,需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行;一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
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【题目】已知函数为常数
(1)当在处取得极值时,若关于x的方程 在上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
(2)若对任意的,总存在,使不等式 成立,求实数 的取值范围.
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【题目】给出最小二乘法下的回归直线方程 = x+ 系数公式:
= ,
假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元),有如表的统计资料:
使用年限x (年) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
维修费用y(万元) | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由资料可知y对x呈线性相关关系,试求:
(1)线性回归直线方程;
(2)根据回归直线方程,估计使用年限为12年时,维修费用是多少?
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【题目】每年的三月十二日,是中国的植树节,林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两批树苗中各抽测了10株树苗的高度,规定高于128厘米的为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米)
甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133
乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146
(1)根据抽测结果,完成答题卷中的茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对甲、乙两批树苗的高度作比较,写出对两种树苗高度的统计结论;
(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为 ,将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算,
(如图)问输出的S大小为多少?并说明S的统计学意义.
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【题目】如图,在三棱锥S﹣ABC中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABC,点A在SB和SC上的射影分别为E、D.
(1)求证:DE⊥SC;
(2)若SA=AB=BC=1,求直线AD与平面ABC所成角的余弦值.
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