Question

已知动点P到直线的距离比它到点F的距离大.
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若点P的轨迹上不存在两点关于直线l：对称，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）（2）

（Ⅰ）据题意可知，点P到直线的距离等于它到点F的距离，所以点P的轨迹是以点F为交点，直线为准线的抛物线.                          
因为，抛物线开口向上，故点P的轨迹方程是.                      
（Ⅱ）若，则直线l为x轴，此时抛物线与直线l相切.                
若，设与直线l垂直的直线为，代入，得(*)
设直线与抛物线的交点为，则，
从而.                                     
假设点A，B关于直线对称，则AB的中点在l上，
所以，即.                           
由于方程(*)有两个不相等的实根，则.所以，整理得，即.                       
由恒成立，所以，即.
所以当时，抛物线上存在两点关于直线对称.                            
故当抛物线上不存在两点关于直线l：对称时，实数的取值范围是
.