Question

10．已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2，点A，D分别是RB，RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连结PB，PC．
（1）求C到平面PAB的距离；
（2）求直线PC与平面ABCD成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面位置关系，可分析出C到平面PAB的距离为线段BC．
（2）连接AC，∠PCA为直线PC与平面ABCD所成角．

解答 解：（1）由题知△RBC为以∠B=90°的等要直角三角形，
∵点A，D分别是RB，RC的中点
∴AD∥BC，即AD⊥BR
将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置
∴AD⊥PA，AD⊥AB
∴AD⊥平面PAB
又BC∥AD
∴BC⊥平面PAB
∴C到平面PAB的距离为BC=2
（2）∵PA⊥AB，PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD
∴PC在底面ABCD的投影为AC，
故连接AC．△PAC为RT△．
∵|AC|²=2²+1²=5，PA=AR=1
∴|PC|²=|AC|²+|PA|²=6
∴$sin∠PCA=\frac{PA}{PC}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故直线PC与平面ABCD成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 考查点面距，线面角的定义及求法（定义法），考查线面位置关系的分析，分析到AD⊥平面PAB；PA⊥平面ABCD是解决问题的关键．本题属于基础题．