Question

已知函数f（x）=x³-ax-b （a，b∈R）
（1）当a=b=1时，求函数f（x）的单调区间
（2）是否存在a，b，使得-

3

9

≤f(x)≤

3

9

对任意的x∈[0，1]成立？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）f（x）=x³-x-1，先求其导函数f′（x）=3x²-1，由f′（x）＞0，得单调递增区间；由f′（x）＜0，得函数f（x）的单调递减区间；
（2）假设存在这样的a，b，使得-

3

9

≤f(x)≤

3

9

对任意的x∈[0，1]成立，则

- 3 9 ≤b≤ 3 9 - 3 9 ≤1-a-b≤ 3 9

①，两式相加可得0＜1-

2 3

9

≤a≤1+

2 3

9

＜3，所以函数f（x）在区间[0，

a 3

]递减，在区间[

a 3

，1]递增，
从而

- 3 9 ≤f(0)≤ 3 9 - 3 9 ≤f(1)≤ 3 9 - 3 9 ≤f( a 3 )≤ 3 9

由此可得1-

2 3

9

≤a≤1．因而可求出a=1，b=-

3

9

，使得-

3

9

≤f(x)≤

3

9

对任意的x∈[0，1]成立．

解答：解：（1）f（x）=x³-x-1，f′（x）=3x²-1=0，x=±

3

3

，
x∈（-∞，-

3

3

）或x∈（

3

3

，+∞）时f′（x）＞0，
x∈（-

3

3

，

3

3

）时f'（x）＜0，所以函数f（x）的单调递增区间为
（-∞，-

3

3

）和（

3

3

，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（-

3

3

，

3

3

）（5分）
（2）假设存在这样的a，b，使得-

3

9

≤f(x)≤

3

9

对任意的x∈[0，1]成立，则

- 3 9 ≤b≤ 3 9 - 3 9 ≤1-a-b≤ 3 9

①，两式相加可得0＜1-

2 3

9

≤a≤1+

2 3

9

＜3，
所以函数f（x）在区间[0，

a 3

]递减，在区间[

a 3

，1]递增，
所以

- 3 9 ≤f(0)≤ 3 9 - 3 9 ≤f(1)≤ 3 9 - 3 9 ≤f( a 3 )≤ 3 9

②，
由不等式组中的第二式加第三式可得-

2 3

9

≤

2 3

9

a

3

2

-a+1≤

2 3

9

，
由不等式组中的第一式加第三式可得1-

2 3

9

≤a≤1．       （10分）
记t(a)=

2 3

9

a

3

2

-a+1，t′(a)=

3a

3

-1=0，a=3，
又1-

2 3

9

≤a≤1，t(a)=

2 3

9

a

3

2

-a+1在[1-

2 3

9

，1]为减函数，
又t(1)=

2 3

9

，所以t(a)≥t(1)=

2 3

9

，所以t(a)=

2 3

9

，
所以a=1，代入②式可得b=-

3

9

，所以存在a=1，b=-

3

9

，
使得-

3

9

≤f(x)≤

3

9

对任意的x∈[0，1]成立．          （16分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想．