Question

已知函数
　(Ⅰ)若时，函数在其定义域上是增函数，求b的取值范围；
　(Ⅱ)在（Ⅰ）的结论下，设函数的最小值；
　(Ⅲ)设函数的图象C₁与函数的图象C₂交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）依题意：
∵上是增函数，
∴ 对任意恒成立，        ……………2分
∴∵ ∴b的取值范围为……4分
（Ⅱ）设，即 
∴当上为增函数，当t=1时，6分
当…………7分
当上为减函数，当t=2时，……8分
综上所述，…………9分
（Ⅲ）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为
C₁在M处的切线斜率为 C_­2­在点N处的切线斜率
假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则
即
则
 ，……12分
设……………………①
令则
∵     ∴     
所以上单调递增，故 ， 则
这与①矛盾，假设不成立,故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

解析