Question

已知函数f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-a（e≈2.73）．
（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；
（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-2，f（x）的定义域为R，
f′（x）=e^-x-xe^-x+e^x-2+（x-2）e^x-2=（x-1）（e^x-2-e^-x）=e^-x（x-1）（e^x-1-1）（e^x-1+1）．
当x≥1时，x-1≥0，e^x-1-1≥0，所以f′（x）≥0，
当x＜1时，x-1＜0，e^x-1-1＜0，所以f′（x）≥0，
所以对任意实数x，f′（x）≥0，
所以f（x）在R上是增函数；
（II）当x≥1时，f（x）≥恒成立，即（x-2）e^2x-a-x²+3x-1≥0恒成立，
设h（x）=（x-2）e^2x-a-x²+3x-1（x≥1），则h′（x）=（2x-3）（e^2x-a-1），
令h′（x）=（2x-3）（e^2x-a-1）=0，解得，，
（1）当1＜＜，即2＜a＜3时，

x	（1，）		（，）		（，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以要使结论成立，则h（1）=-e^2-a+1≥0，h（）=-e^3-a+≥0，即e^2-a≤1，e^3-a≤，
解得a≥2，a≥3-ln，所以3-ln≤a＜3；
（2）当=，即a=3时，h′（x）≥0恒成立，所以h（x）是增函数，又h（1）=-e^-1+1＞0，
故结论成立；
（3）当，即a＞3时，

x	（1，）		（，）		（，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以要使结论成立，
则h（1）=-e^2-a+1≥0，h（）=-+2a-3≥0，即e^2-a≤1，a²-8a+12≤0，
解得a≥2，2≤a≤6，所以3＜a≤6；
综上所述，若a＞2，当x≥1时，f（x）≥恒成立，实数a的取值范围是3-ln≤a≤6． …（12分）
分析：（Ⅰ）只需证明当a=2时f′（x）≥0恒成立即可；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥恒成立，即（x-2）e^2x-a-x²+3x-1≥0恒成立，设h（x）=（x-2）e^2x-a-x²+3x-1（x≥1），从而转化为h（x）_min≥0即可，利用导数可求得h（x）_min，注意对a进行讨论；
点评：本题考查利用导数研究函数单调性、求函数最值问题，考查不等式恒成立问题，考查学生分类讨论思想．