Question

已知正四面体ABCD中，P为棱AD的中点，则过点P与面ABC和面BCD所在平面都成60°角的平面共有几个？（若二面角α-l-β的大小为120°，则平面α与β所成角也为60°）

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：综合题,空间角

分析：在正四面体A-BCD中，取BC的中点E，连结AE，DE，则∠AED就是二面角A-BC-D的平面角，设过点P垂直于平面ABC的直线为m，过点P垂直于平面BCD的直线为n，则m与n所成角∈（

π

3

，

π

2

），可得过点P可作4条直线同时与直线m，n成

π

3

，即可得出结论．

解答： 解：在正四面体A-BCD中，取BC的中点E，连结AE，DE，
则∠AED就是二面角A-BC-D的平面角，在等腰三角形AED中，可求得cos∠AED=

1

3

，
∴二面角A-BC-D的余弦为

1

3

＜

1

2

，二面角A-BC-D∈（

π

3

，

π

2

），
设过点P垂直于平面ABC的直线为m，过点P垂直于平面BCD的直线为n，则m与n所成角∈（

π

3

，

π

2

），
∴过点P可作4条直线同时与直线m，n成

π

3

，
即符合题意的平面有4个．

点评：本题考查二面角的平面角及求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．