Question

给出下列图象，其中可能为函数f（x）=x⁴+ax³+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象是（　　）

• A、①③
• B、①②
• C、③④
• D、②④

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：先求函数的导函数，由导函数所对应方程的根的情况进行讨论，从而得出原函数的极值情况，再对图象进行筛选．

解答： 解：∵f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），
∴f′（x）=4x³+3ax²+2bx+c，
此函数相应方程的根可能有三个或两个或一个，下面分三种情况讨论：
①若方程可能的根有一个，如a，b，c都为0时，f′（x）=0的根只有一个，故函数值先负后正，故函数的图象是先减后增，符合条件的只有①．
②若方程可能的根有两个，函数有两个极值点，函数图象必是先减后增再减型，与题意不符，
③若方程的根有三个，则函数有三个极值点，函数的单调性是先减后增再减再增型，考察②③④得③符合条件
综上讨论知，①③中的图象可能是函数的图象，
故答案为①③，
故选：A

点评：利用导数进行研究函数时，主要的方法是通过研究导函数的零点来与原函数的极值情况结合，从而更易得到函数的单调情况．