Question

【题目】已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），当x∈[0，1]时，f（x）=x，那么在区间[﹣1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R）且k≠﹣1恰有4个不同的根，则k的取值范围是

Answer 1

【答案】（- ， 0）
【解析】解：∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴f（0）=0，
∵f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），
∴函数y=f（x）为偶函数，
令x=﹣2，则f（﹣2+2）=f（﹣2）+f（2）=f（0）=0，
即2f（2）=0，则f（2）=0，
即f（x+2）=f（x）+f（2）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期数列，
若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]时，
此时f（﹣x）=﹣x=f（x），
∴f（x）=﹣x，x∈[﹣1，0]，
令y=kx+k+1，则化为y=k（x+1）+1，即直线y=k（x+1）+1恒过M（﹣1，1）．
作出f（x），x∈[﹣1，3]的图象与直线y=k（x+1）+1，
如图所示，由图象可知当直线介于直线MA与MB之间时，
关于x的方程f（x）=kx+k+1恰有4个不同的根，
又∵kMA=0，kMB=- ，
∴-＜k＜0．
所以答案是：（- ， 0）．