【题目】已知函数,
,
,
为自然对数的底数.
(Ⅰ)若函数在
上存在零点,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若函数在
处的切线方程为
.求证:对任意的
,总有
.
【答案】(Ⅰ).
(Ⅱ)见解析.
【解析】分析:(Ⅰ)首先利用导数判断函数的单调性,然后由此求出函数的最小值,只要最小值小于0即可求出实数的取值范围;(Ⅱ)首先由条件得出
的值确定函数解析式,然后由
得到
,最后构造前后两个函数,验证前一个函数的最小值大于后一个函数的最大值。
详解:(Ⅰ)易得.
若,有
,不合题意;
若,有
,
,满足题设;
若,令
,得
∴在
上单调递减;在
单调递增,
则,∴
.
又满足题设,
综上所述,所求实数.
(Ⅱ)证明:易得,,
则由题意,得,解得
.
∴,从而
,即切点为
.
将切点坐标代入中,解得
. ∴
.
要证,即证
(
,
只需证
).
令,
.
则由,得
,
∴在
上单调递减;在
上单调递增,
∴.
又由,得
∴在
上单调递增;在
上单调递减,
∴.
∴,
显然,上式的等号不能同时取到.
<>故对任意的科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)满足f(﹣x)=f(x),且f(x+2)=f(x)+f(2),当x∈[0,1]时,f(x)=x,那么在区间[﹣1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R)且k≠﹣1恰有4个不同的根,则k的取值范围是
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出下列说法,正确的有__________.
①与共线单位向量的坐标是
;
②集合与集合
是相等集合;
③函数的图象与
的图象恰有3个公共点;
④函数的图象是由函数
的图象水平向右平移一个单位后,将所得图象在
轴右侧部分沿
轴翻折到
轴左侧替代
轴左侧部分图象,并保留右侧部分而得到.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆C的圆心C在直线上.
若圆C与y轴的负半轴相切,且该圆截x轴所得的弦长为
,求圆C的标准方程;
已知点
,圆C的半径为3,且圆心C在第一象限,若圆C上存在点M,使
为坐标原点
,求圆心C的纵坐标的取值范围.
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