Question

已知A，B，C是圆O：x²+y²=1上任意的不同三点，若

OA

=3

OB

+x

OC

，则正实数x的取值范围为（　　）

• A、（0，2）
• B、（1，4）
• C、（2，4）
• D、（3，4）

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：三点A，B，C在圆O：x²+y²=1上，所以|OA|=|OB|=|OC|=1，所以可以想到对

OA

=3

OB

+x

OC

两边进行平方，从而去掉向量符号，得到1=9+6xcos＜

OB

，

OC

＞+x2，并求出cos＜

OB

，

OC

＞=

-x2-8

6x

．可以判断＜

OB

，

OC

＞∈(0，π)，所以-1＜

-x2-8

6x

＜1，解该不等式即得x的取值范围．

解答： 解：根据已知条件知：|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=1；
∴对

OA

=3

OB

+x

OC

两边平方可得：1=9+6xcos＜

OB

，

OC

＞+x2；
∵x＞0，∴cos＜

OB

，

OC

＞=

-x2-8

6x

；
∵A，B，C是不同三点；
∴-1＜cos＜

OB

，

OC

＞＜1，∴-1＜

-x2-8x

6x

＜1；
∴

x2-6x+8＜0 x2+6x+8＞0

，解得2＜x＜4；
∴正实数x的取值范围为（2，4）．
故选C．

点评：考查向量的长度的概念，向量数量积的计算公式，向量夹角的概念及范围，以及解分式不等式，一元二次不等式组．