【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.
(1)求证:平面PAB∥平面EFG;
(2)在线段PB上确定一点Q,使PC⊥平面ADQ,并给出证明;
(3)求出D到平面EFG的距离.
【答案】
(1)证明:E,G分别是PC,BC的中点得EG∥PB
∴EG∥平面PAB
又E,F分别是PC,PD的中点,
∴EF∥CD,又AB∥CD
∴EF∥AB
∵EFp平面PAB,AB平面PAB
∴EF∥平面PAB
又∵EG,EF平面EFG,EG∩EF=E
∴平面PAB∥平面EFG
(2)证明:Q为PB的中点,连QE,DE,又E是PC的中点,
∴QE∥BC,又BC∥AD∴QE∥AD
∴平面ADQ即平面ADEQ∴PD⊥DC,又PD=AB=2,ABCD是正方形,
∴等腰直角三角形PDC
由E为PC的中点知DE⊥PC
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AD又AD⊥DC
∴AD⊥面PDC
∴AD⊥PC,且AD∩DE=D
∴PC⊥平面ADEQ,即证PC⊥平面ADQ
(3)解:连DG,取AD中点H,连HG,HF,设点D到平面EFG的距离为h.H,G为AD,BC中点可知HG∥DC,又EF∥DC
∴HG∥EF
∴G到EF的距离即H到EF的距离
∵PD⊥DC,AD⊥DC
∴DC⊥面PAD,又EF∥DC
∴EF⊥面PAD
∴EF⊥HF
∴HF为G到EF的距离,由题意可知EF=1,HF= , =
∵AD⊥面PDC,GC∥AD
∴GC⊥面PDC
∴G到面EFD的距离为CG=1
又可知EF=DF=1,
∴
【解析】(1)由已知可得EG∥PB,从而可证EG∥平面PAB,则只要再证明EF∥平面PAB,即证EF∥AB,结合已知容易证,根据平面与平面平行的判定定理可得(2)若使得PC⊥平面ADQ,即证明PC⊥平面ADE,当Q为PB的中点时,PC⊥Ae,AD⊥PC即可(3)结合已知可考虑利用换顶点VD﹣EFG=VG﹣EFD , 结合已知可求
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【题目】已知圆O:x2+y2=2,直线l:y=kx﹣2.
(1)若直线l与圆O交于不同的两点A,B,且 ,求k的值;
(2)若 ,P是直线l上的动点,过P作圆O的两条切线PC,PD,切点分别为C,D,求证:直线CD过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道,如图.设矩形温室的室内长为x(m),三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2).
(1)求S关于x的函数关系式;
(2)求S的最大值,及此时长X的值.
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【题目】已知圆C经过原点O,与x轴另一交点的横坐标为4,与y轴另一交点的纵坐标为2,
(1)求圆C的方程;
(2)已知点B的坐标为(0,2),设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.
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【题目】已知椭圆C的焦点在x轴上,离心率等于 ,且过点(1, ). (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于M点,若 =λ1 , =λ2 ,求证:λ1+λ2为定值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,边长为an的一组正三角形AnBn﹣1Bn的底边Bn﹣1Bn依次排列在x轴上(B0与坐标原点重合).设{an}是首项为a,公差为2的等差数列,若所有正三角形顶点An在第一象限,且均落在抛物线y2=2px(p>0)上,则a的值为 .
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