【题目】已知函数,若的图象上相邻两条对称轴的距离为,图象过点.
(1)求的表达式和的递增区间;
(2)将函数的图象向右平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.若函数在区间上有且只有一个零点,求实数的取值范围.
【答案】(1),的递增区间为,.(2)
【解析】
(1)由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数,相邻两条对称轴的距离为,可得周期,从而得,再代入坐标得;
(2)由三角函数图象变换得,题意转化为的图象与直线在上只有一个公共点,结合函数图象易得结论.
(1),
的最小正周期为,∴.
∵的图象过点,∴,∴,
即.
令,,,,
故的递增区间为,.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度,可得的图象,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.
∵,∴,∴,故在区间上的值域为.
若函数在区间上有且只有一个零点,
即函数的图象和直线只有一个公共点,
如图,
根据图象可知,或,即.
故实数的取值范围是.
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【题目】甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同,其中乙的命中率是甲的2倍,丙的命中率等于甲与乙的命中率之和.若甲与乙各投篮一次,每人投篮相互独立,则他们都命中的概率为0.18.
(1)求甲、乙、丙三人投篮的命中率;
(2)现要求甲、乙、丙三人各投篮一次,假设每人投篮相互独立,记三人命中总次数为,求的分布列及数学期望.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知圆的参数方程为(为参数,).以原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程是.
(1)若直线与圆有公共点,试求实数的取值范围;
(2)当时,过点且与直线平行的直线交圆于两点,求的值.
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【题目】如图,在三棱台中,,.若点为的中点,点为靠近点的四等分点.
(1)求证:平面;
(2)若三棱台的体积为,求三棱锥的体积.
注:台体体积公式:,或在分别为台体上下底面积,为台体的高.
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【题目】数(其中)的图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度,纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
B.向左平移个单位长度,纵坐标伸长到原来的3倍横坐标不变
C.向右平移个单位长度,纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
D.向右平移个单位长度,纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
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【题目】四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,,为的中点,平面平面,为上一点,平面.
(1)求证:平面平面;
(2)若与底面所成的角为,求二面角的余弦值.
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【题目】PM2.5是衡量空气质量的重要指标,我国采用世卫组织的最宽值限定值,即PM2.5日均值在以下空气质量为一级,在空气质量为二级,超过为超标,如图是某地1月1日至10日的PM2.5(单位:)的日均值,则下列说法正确的是( )
A.10天中PM2.5日均值最低的是1月3日
B.从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高
C.这10天中恰有5天空气质量不超标
D.这10天中PM2.5日均值的中位数是43
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【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且有AB∥DC,AC=CD=DAAB.
(1)证明:BC⊥PA;
(2)若PA=PC=AC,求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】已知椭圆的离心率,是椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线的斜率为,且直线交椭圆于、两点,点关于原点的对称点为,点是椭圆上一点,判断直线与的斜率之和是否为定值,如果是,请求出此定值,如果不是,请说明理由.
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