Question

【题目】如图，在三棱台中，，.若点为的中点，点为靠近点的四等分点.

（1）求证：平面；

（2）若三棱台的体积为，求三棱锥的体积.

注：台体体积公式：，或在分别为台体上下底面积，为台体的高.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，可得∥，再由已知可证四边形为平行四边形，得∥，进而有∥，即可证明结论；

（2）根据已知可得三棱台的高为，可得平面，再结合已知可证平面，应用，即可求解.

（1）如图3，取的中点，连接.

在中，由为中点，有∥.

由棱台的性质知∥，与相似，

且，则有，

所以有∥，

所以四边形为平行四边形，

则∥，所以∥，又平面，

平面，所以∥平面.

（2）设三棱台的高为，，

则体积，则，故平面.

由，，，所以平面.

，为中点，

，

所以.