Question

【题目】某地计划在水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；

（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：

年入流量
发电机最多可运行台数	1	2	3

若某台发电机运行，则该台发电机年净利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年维护费与年入流量有如下关系：

年入流量
一台未运行发电机年维护费	500	800

欲使水电站年净利润最大，应安装发电机多少台？

Answer 1

【答案】（1）；（2）应安装发电机2台.

【解析】

（1）由题意求出年入流量在3个范围：，，的概率.由二项分布可得在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率；

（2）记水电站年净利润为（单位：万元）.分别求安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机的数学期望，选择最大的方案.

（1）依题意，，

，

由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为：

.

（2）记水电站年净利润为（单位：万元）

①当安装1台发电机时.

由于水库年入流量总大于40，所以1台发电机运行的概率为1.

此时的年净利润，；

②当安装2台发电机时.此时，

若，则只有1台发电机运行，此时，因此

若，则2台发电机都能运行，此时，因此

由此得的概率分布列如下：

	4500	10000
	0.2	0.8

所以，.

③当安装3台发电机时.此时，

若，则只有1台发电机运行，此时，因此

若，则有2台发电机运行，此时，因此

若，则3台发电机同时运行，此时，因此

由此得的概率分布列如下：

	4000	9200	15000
	0.2	0.7	0.1

所以，

综上，欲使水电站年净利润最大，应安装发电机2台.