Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有AB∥DC，AC＝CD＝DAAB.

（1）证明：BC⊥PA；

（2）若PA＝PC＝AC，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）设AB＝2a，则AC＝CD＝DA＝a，推导出，由余弦定理得BC，由勾股定理得BC⊥AC，从而BC⊥平面PAC，由此能证明BC⊥PA.

（2）设AC＝2，取AC中点O，连结PO，则PO⊥AC，PO，推导出PO⊥平面ABCD，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.

（1）证明：设AB＝2a，则AC＝CD＝DA＝a，

∵△ACD是等边三角形，∴，

∵AB∥DC，∴，

由余弦定理得：

3a2，∴BC，

∴BC2+AC2＝AB2，∴，∴BC⊥AC，

∵平面PAC∩平面ABCD＝AC，BC平面ABCD，

∴BC⊥平面PAC，

∵PA平面PAC，∴BC⊥PA.

（2）解：设AC＝2，取AC中点O，连结PO，则PO⊥AC，PO，

∵平面PAC⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，

以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则C（0，0，0），B（0，2，0），P（1，0，），A（2，0，0），D（1，，0），

（1，0，），（1，，0），（1，0，），（0，2，0），

设平面PAD的法向量（x，y，z），

则，取z＝1，得（），

设平面PBC的法向量（a，b，c），

则，取a，得（），

设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角为θ.

则cosθ.

∴平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为.