Question

已知函数f（x）=x²-2|x|-1，（-3≤x≤3），
（Ⅰ）指出函数的奇偶性并画出其简图；
（Ⅱ）若y=a与函数f（x）的图象有两个交点求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据函数的解析式，我们判断f（-x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义可得函数的奇偶性，进而结合二次函数的图象和性质及偶函数图象关于y轴对称，可得函数简图；
（II）根据（I）中函数简图，数形结合可分析出y=a与函数f（x）的图象有两个交点时，实数a的取值范围．

解答：解：（I）∵函数f（x）=x²-2|x|-1，（-3≤x≤3）的定义域关于原点对称，
且f（-x）=（-x）²-2|-x|-1=x²-2|x|-1=f（x）
故函数为偶函数，其简图如下图所示：

（II）由（I）中函数的简图可得
当a＜-2时，y=a与函数f（x）的图象没有交点；
当a=-2时，y=a与函数f（x）的图象有两个交点；
当-2＜a＜-1时，y=a与函数f（x）的图象有四个交点；
当a=-1时，y=a与函数f（x）的图象有三个交点；
当a＞-1时，y=a与函数f（x）的图象有两个交点；
故满足条件的实数a的取值范围是，a＞-1或a=-2

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，带绝对值的函数，其中画出函数的图象是解答本题的关键．