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已知函数f(x)=ax3+
1
2
(sinθ)x2-2x+c
的图象过点(1,
37
6
)
,且在[-2,1)内单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对于任意的x1,x2∈[m,m+3](m≥0),不等式|f(x1)-f(x2)|≤
45
2
恒成立,试问这样的m是否存在.若存在,请求出m的范围,若不存在,说明理由.
分析:(1)求导函数,利用[-2,1)内单调递减,在[1,+∞)上单调递增,可确定sinθ=1,a=
1
3
,再由f(1)=
37
6
,即可求得f(x)的解析式;
(2)由导函数,确定f(x)的单调性.再进行分类讨论,利用|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min,即可求得结论.
解答:解:(1)求导函数,可得f′(x)=3ax2+xsinθ-2,
由题设可知:
f′(1)=0
f′(-2)≤0
,即
3a+sinθ-2=0
12a-2sinθ-2≤0
,∴sinθ≥1,∴sinθ=1.
从而a=
1
3

∴f(x)=
1
3
x3+
1
2
x2-2x+c,而又由f(1)=
37
6
得c=
22
3

∴f(x)=3x3+2x2-2x+3即为所求.
(2)由f′(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1),
∴f(x)在(-∞,-2)及(1,+∞)上均为增函数,在(-2,1)上为减函数.
①当m>1时,f(x)在[m,m+3]上递增,故f(x)max=f(m+3),f(x)min=f(m)
由f(m+3)-f(m)=3(m+3)3+2(m+3)2-2(m+3)-3m3-2m2+2m=3m2+12m+2≤2,
得-5≤m≤1.这与条件矛盾,故 不存在.
②当0≤m≤1时,f(x)在[m,1]上递增,在[1,m+3]上递增
∴f(x)min=f(1),f(x)max=max{ f(m),f(m+3)},
又f(m+3)-f(m)=3m2+12m+2=3(m+2)2-2>0(0≤m≤1)
∴f(x)max=f(m+3)
∴|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=f(m+3)-f(1)≤f(4)-f(1)=2恒成立.
故当0≤m≤1时,原不等式恒成立.
综上,存在m∈[0,1]合题意
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,解题的关键是利用|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min,属于中档题.
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已知函数f(x)=a-
12x+1

(1)求证:不论a为何实数f(x)总是为增函数;
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(3)当f(x)为奇函数时,求f(x)的值域.

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已知函数f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)图象经过点Q(8,6).
(1)求a的值,并在直线坐标系中画出函数f(x)的大致图象;
(2)求函数f(t)-9的零点;
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已知函数f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)为奇函数,则a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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已知函数f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值;
(III)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值;
(3)考察f(x)在定义域上单调性的情况,并证明你的结论.

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