Question

已知圆O：x²+y²=34，椭圆C：

x2

25

+

y2

9

=1．
（Ⅰ）若点P在圆O上，线段OP的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P的横坐标；
（Ⅱ）现有如下真命题：“过圆x²+y²=5²+3²上任意一点Q（m，n）作椭圆

x2

52

+

y2

32

=1的两条切线，则这两条切线互相垂直”；“过圆x²+y²=4²+7²上任意一点Q（m，n）作椭圆

x2

42

+

y2

72

=1的两条切线，则这两条切线互相垂直”．据此，写出一般结论，并加以证明．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设点P（x₀，y₀），则x02+y02=34，利用MF⊥OP，可得k_OP•k_MF=-1，进而可得y02+x02-8x0=0，从而可求点P的横坐标；
（Ⅱ）一般结论为：“过圆x²+y²=a²+b²上任意一点Q（m，n）作椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的两条切线，则这两条切线互相垂直”，再分类讨论，借助于根的判别式，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）设点P（x₀，y₀），则x02+y02=34，（1）…（1分）
设线段OP的垂直平分线与OP相交于点M，则M(

x0

2

，

y0

2

)，…（2分）
椭圆C：

x2

25

+

y2

9

=1的右焦点F（4，0），…（3分）
∵MF⊥OP，∴k_OP•k_MF=-1，
∴

y0

x0

•

y0 2 -0

x0 2 -4

=-1，
∴y02+x02-8x0=0，（2）…（4分）
由（1），（2），解得x0=

17

4

，
∴点P的横坐标为

17

4

． …（5分）
（Ⅱ）一般结论为：“过圆x²+y²=a²+b²上任意一点Q（m，n）作椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的两条切线，则这两条切线互相垂直．”…（6分）
证明如下：
（ⅰ）当过点Q与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x=±a，
∵点Q在圆x²+y²=a²+b²上，
∴Q（±a，±b），
∴直线y=±b恰好为过点Q与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1相切的另一条切线，
∴两切线互相垂直．…（7分）
（ⅱ）当过点Q（m，n）与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为y-n=k（x-m），
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y-n=k(x-m)

得 b²x²+a²[k（x-m）+n]²-a²b²=0，
整理得（b²+a²k²）x²+2a²k（n-km）x+a²（n-km）²-a²b²=0，…（8分）
∵直线与椭圆相切，∴△=4a⁴k²（n-km）²-4（b²+a²k²）[a²（n-km）²-a²b²]=0，
整理得（m²-a²）k²-2mnk+（n²-b²）=0，…（9分）
∴k1k2=

n2-b2

m2-a2

，…（10分）
∵点Q（m，n）在圆x²+y²=a²+b²上，
∴m²+n²=a²+b²，
∴m²-a²=b²-n²，
∴k₁k₂=-1，
∴两切线互相垂直，
综上所述，命题成立．…（13分）

点评：求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的关系问题，一般将直线的方程与圆锥曲线方程联立得到二次方程，再利用根与系数的关系找突破口．