Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右焦点分别为F₁，F₂，直线y=x-1过椭圆的焦点F₂且与椭圆交于P，Q两点，若△F₁PQ周长为4

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）圆C′：x²+y²=1直线y=kx+m与圆C′相切且与椭圆C交于不同的两点A，B，O坐标原点．若

OA

•

OB

=λ，且

2

3

≤λ≤

3

4

，求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知F₂（1，0），即c=1，△F₁PQ周长为4

2

，可得a，即可求椭圆的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由y=kx+m（b＞0）与圆x²+y²=1相切，由y=kx+m代入椭圆方程，利用

OA

•

OB

=λ，求出

1

2

≤k²≤1，即可求k的取值范围．

解答： 解：（1）由已知F₂（1，0），即c=1，
△F₁PQ周长为4

2

，可得4a=4

2

，即a=

2

，
∴b=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）y=kx+m（b＞0）与圆x²+y²=1相切，则

|m|

1+k2

=1，
即m²=k²+1，k≠0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由y=kx+m代入椭圆方程，消去y得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0
又△=8k²＞0
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

1+k2

1+2k2

=λ，
∵

2

3

≤λ≤

3

4

，
∴

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

，
∴

1

2

≤k²≤1，
∴-1≤k≤-

2

2

或

2

2

≤k≤1．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和综合应用，考查向量知识的运用，考查韦达定理，属于中档题．