Question

已知圆C的方程为x²+y²-10x+21=0，若直线y=kx-3上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：由于圆C的方程为（x-5）²+y²=4，由题意，直线y=kx-3上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，可知只需（x-5）²+y²=9与直线y=kx-3有公共点即可．

解答： 解：∵圆C的方程为x²+y²-10x+21=0，整理得：（x-5）²+y²=4，即圆C是以（5，0）为圆心，2为半径的圆；
又直线y=kx-3上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴只需圆C′：（x-5）²+y²=9与直线y=kx-3有公共点即可．
设圆心C（5，0）到直线y=kx-3的距离为d，则d=

|5k-3|

k2+1

≤3，
解得0≤k≤

15

8

．
∴k的最大值是

15

8

．
故答案为：

15

8

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生灵活解决问题的能力，将条件转化为“（x-5）²+y²=9与直线y=kx-3”是关键，属于中档题．