Question

如图，在四面体ABCD中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=

3

，D是AC的中点，点E在AB上，AB=3AE．
（Ⅰ）求证：AO⊥DE；
（Ⅱ）求二面角O-AC-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取BE中点F，连结OF，由已知条件推导出AO⊥OF，又OC⊥AO，从而得到AO⊥面COF，由此能证明AO⊥DE．
（Ⅱ）连结DF、OD、OF，由已知得CO⊥平面AOB，OP是DF在平面AOC内的射影，从而推导出∠ODF为二面角的平面角，由此能求出二面角O-AC-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取BE中点F，连结OF，依题意有DE∥CF，
在△AOB中，∠AOB=120°，且OA=OB=

3

，
由余弦定理得AB=3，∵AB=3AE，∴AF=2，OF=1，
∴AO⊥OF，又OC⊥AO，
∴AO⊥面COF，∴AO⊥CF，
∴AO⊥DE．
（Ⅱ）解：连结DF、OD、OF，
由OC⊥OA，OC⊥OB知CO⊥平面AOB，
∴OP是DF在平面AOC内的射影，
在等腰三角形AOC中，D为AC的中点，AC⊥OD，且OD=

6

2

，
由三垂线定理知AC⊥DF，
∴∠ODF为二面角的平面角，
∴在Rt△DOF中，DF=

OD2+OF2

=

10

2

，
∴cos∠ODF=

OD

DF

=

6 2

10 2

=

15

5

．
∴二面角O-AC-B的余弦值为

15

5

．

点评：本题考查异面垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．