Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（Ⅰ）求证：平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-B₁D-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AB中点为O，连接OD，OB₁，证明AB⊥平面B₁OD，可得AB⊥OD，又OD⊥BB₁，因为AB∩BB₁=B，即可证明平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ACC₁A₁的法向量，即可求直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面BB₁D的法向量，平面B₁DC的法向量，即可求二面角B-B₁D-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取AB中点为O，连接OD，OB₁．
因为B₁B=B₁A，所以OB₁⊥AB．
又AB⊥B₁D，OB₁∩B₁D=B₁，
所以AB⊥平面B₁OD，
因为OD?平面B₁OD，所以AB⊥OD．…（2分）
由已知，BC⊥BB₁，又OD∥BC，
所以OD⊥BB₁，因为AB∩BB₁=B，
所以OD⊥平面ABB₁A₁．
又OD?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB₁A₁．     …（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OB，OD，OB₁两两垂直．以O为坐标原点，

OB

的方向为x轴的方向，|

OB

|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
由题设知B1(0，0，

3

)，D（0，1，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），C1(0，2，

3

)．
则

B1D

=(0，1，-

3

)，

AC

=(2，2，0)，

CC1

=(-1，0，

3

)．
设平面ACC₁A₁的法向量为

m

=（x，y，z），则

m

•

AC

=0，

m

•

CC1

=0，即x+y=0，-x+

3

z=0，
可取

m

=(

3

，-

3

，1)．…（6分）
设直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角为θ，
故sinθ=

21

7

．                                    …（7分）
（Ⅲ）解：由题设知B（1，0，0），
可取平面BB₁D的法向量

n1

=(

3

，

3

，1)，…（8分）
平面B₁DC的法向量

n2

=(-

3

，

3

，1)，…（9分）
故cos＜

n1

，

n2

＞=

1

7

，…（11分）
所以二面角B-B₁D-C的余弦值为

1

7

．             …（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线与平面所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．