Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=3，a_n=2S_n+1+3ⁿ（n∈N^*，n≥2）．
（1）求证：数列{

Sn

3n

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）令b_n=

2n2-5n-3

an

，如果对任意n∈N^*，都有b_n+

2

9

t＜t²成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差关系的确定,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）再写一式，两式相减，即可证明数列{

Sn

3n

}是等差数列；
（2）先求出S_n=n•3ⁿ，再求数列{a_n}的通项公式；
（3）确定对任意n∈N^*，都有b_n≤

1

27

，对任意n∈N^*，都有b_n+

2

9

t＜t²，转化为

1

27

≤t²-

2

9

t，即可求实数t的取值范围．

解答： 解：（1）∵a₁=3，a_n=2S_n+1+3ⁿ（n∈N^*，n≥2），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，∴S_n-3S_n-1=3ⁿ，
∴

Sn

3n

-

Sn-1

3n-1

=1，
∴数列{

Sn

3n

}是以1为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）得

Sn

3n

=n，
∴S_n=n•3ⁿ，
∴n≥2时，a_n=（2n+1）•3^n-1，
n=1时也成立，
∴a_n=（2n+1）•3^n-1；
（3）b_n=

2n2-5n-3

an

=

n-3

3n-1

，
∴b_n+1-b_n=

-2n+7

2n

，
∴n=1，2，3时，b_n+1＞b_n，n≥4时，b_n+1＜b_n，
∴对任意n∈N^*，都有b_n≤

1

27

，
∵对任意n∈N^*，都有b_n+

2

9

t＜t²，即b_n＜t²-

2

9

t成立，
∴

1

27

＜t²-

2

9

t，
解得t＞

1

3

或t＜-

1

9

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．