Question

在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转45°的变换R所对应的矩阵为M，将每个点横、纵坐标分别变为原来的

2

倍的变换T所对应的矩阵为N．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）求曲线xy=1先在变换R作用下，然后在变换T作用下得到的曲线方程．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）求出M=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

，|M|=1，即可求矩阵M的逆矩阵M^-1；    
（Ⅱ）求出NM，可得坐标之间的关系，代人方程xy=1整理，即可求曲线C′的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵M=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

，|M|=1，
∴M^-1=

2 2 2 2 - 2 2 2 2

．
（Ⅱ）∵N=

2 0 0 2

，M=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

∴矩阵NM=

1 -1 1 1

，它所对应的变换为

x′=x-y y′=x+y

解得

x= x′+y′ 2 y= -x′+y′ 2

把它代人方程xy=1整理，得（y′）²-（x′）²=4，
即经过矩阵MN变换后的曲线C′方程为y²-x²=4．

点评：本题给出矩阵变换，求曲线C在矩阵M对应变换作用下得到的曲线C'方程，着重考查了矩阵与变换的运算、曲线方程的求法等知识，属于中档题．