Question

已知向量

a

=（sinωx-cosωx，sinωx），

b

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx）．设函数f（x）=

a

•

b

+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（

1

2

，1）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（

π

5

，0），求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得f（x）=

a

•

b

+λ=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，再根据函数f（x）的图象关于直线x=π对称，可得2ω•π-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，结合ω∈（

1

2

，1），可得ω 的值．
（2）由y=f（x）的图象经过点（

π

5

，0），求得λ的值，可得f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-1．由 0≤x≤

π

2

，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

+λ=sin²ωx-cos²ωx+2

3

sinωxcosωx+λ
=-cos2ωx+

3

sin2ωx+λ=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，
再根据函数f（x）的图象关于直线x=π对称，可得sin（2ωx-

π

6

）=±1，
2ω•π-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，即ω=

k

2

+

1

3

．
结合ω∈（

1

2

，1），可得ω=

5

6

．
（2）由y=f（x）的图象经过点（

π

5

，0），得 f（

π

5

）=0．
即λ=-2sin（

5

6

×

2π

5

-

π

6

）=-2sin

π

6

=-1，故 f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-1．
由 0≤x≤

π

2

，有-

π

6

≤

5

3

x-

π

6

≤

2π

3

．
∴-

1

2

≤2sin（

5

3

x-

π

6

）≤1，得-2≤f（x）≤1．
所以，函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的取值范围为[-2，1]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．