Question

某同学参加政治、历史、生物、地理四门学科的学业水平测试，假设该同学历史学科测试成绩为A的概率为

4

5

，其余三门学科测试成绩为A的概率均为

1

2

，且四门学科测试成绩是否为A相互独立．
（1）求该同学恰有两门学科测试成绩为A的概率；
（2）设四门学科中测试成绩为A的门数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）设事件A_i（i=1，2，3，4）分别表示“该同学政治、历史、生物、地理”四门学科测试成绩为A”，则P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=P（A₃）=P（A₄）=

1

2

，由此能求出该同学恰有两门学科测试成绩为A的概率．
（2）随机变量ξ的可能取值是0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．

解答： 解：（1）设事件A_i（i=1，2，3，4）分别表示
“该同学政治、历史、生物、地理”四门学科测试成绩为A”，
则P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=P（A₃）=P（A₄）=

1

2

，
该同学恰有两门学科测试成绩为A的概率是：
P=P（A1A2

.

A3

.

A4

）+P（A₁A₃

.

A2

.

A4

）+P（A1A4

.

A2

.

A3

）
+P（A2A3

.

A1

.

A4

）+P（A2A4

.

A1

.

A3

）+P（A3A4

.

A1

.

A2

）
=

4

5

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2

+C

2 3

×(

1

2

)2×(1-

4

5

)×(1-

1

2

)=

3

8

．
∴该同学恰有两门学科测试成绩为A的概率是

3

8

．
（2）随机变量ξ的可能取值是0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

1

5

×(

1

2

)3=

1

40

，
P（ξ=1）=

4

5

×(

1

2

)3+

C

1 3

×(

1

2

)3×

1

5

=

7

40

，
P（ξ=2）═

4

5

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2

+C

2 3

×(

1

2

)2×(1-

4

5

)×(1-

1

2

)=

3

8

，
P（ξ=3）=

1

5

×(

1

2

)3

C

2 3

(

1

2

)3×

4

5

=

13

40

，
P（ξ=4）=

4

5

×(

1

2

)3=

1

10

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 40	7 40	3 8	13 40	1 10

∴Eξ=0×

1

40

+1×

7

40

+2×

3

8

+3×

13

40

+4×

1

10

=

23

10

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．